Verifiquem se vcs acertaram!!!!!
Vamos analisar passo a passo o raciocínio acima. Começamos inicialmente
fazendo a
hipótese
a = b.
Não há nada que proíba a gente de fazer esta hipótese. Estamos simplesmente dizendo que
as letras a e b se referem ao mesmo número. Podemos, por exemplo, escolher simbolizar o
número 5 pela letra a e também pela letra b:
a = 5;
b = 5;
e neste caso certamente temos a = b. Outra maneira de dizer isso, ´e que estamos atribuindo
`as variáveis a e b o mesmo valor, ou seja, 5. Para efeitos do raciocínio da página anterior,
em nenhum momento foi importante saber qual o valor de a e b (ou foi?), apenas que a e b
tinham o mesmo valor. Não há nenhum erro de lógica aqui.
Em seguida, multiplicamos ambos os lados da igualdade por a e afirmamos que a igualdade
se mantinha:
aa = ab.
Na verdade, ao invés de escrevermos aa no lado esquerdo da equação, escrevemos a2:
a2 = ab.
mas esta é apenas uma forma abreviada de se escrever aa e não tem a menor importância.
Existe alguma dúvida de que a igualdade se mantém quando multiplicamos ambos os lados
de uma equação pelo mesmo número? Quando multiplicamos duas coisas iguais pelo mesmo
número, obtemos números iguais. Ou seja, por exemplo, tínhamos antes
5 = 5,
e multiplicamos ambos os lados desta equação por 5 (pois a = 5). Em cada lado obtemos 25
e obviamente a igualdade se mantém:
25 = 25.
Alguma dúvida? Isso é pura lógica. Certamente o erro no raciocínio, se ´e que existe algum,
não está aqui.
No próximo passo, subtraímos de ambos os lados da equação o número b2, obtendo
a2 − b2 = ab − b2
Isso também ´e verdade: quando subtraímos coisas iguais de coisas iguais, a igualdade se
Mantém. Ou seja, por pura lógica, concluímos que também neste passo não há erro.
2
No passo seguinte, fatoramos as expressões de ambos os lados. No lado esquerdo temos
o produto notável:
a2 − b2 = (a + b)(a − b),
e no lado esquerdo simplesmente colocamos o número b em evidência:
ab − b2 = (a − b)b = b(a − b).
As fatorações em ambos os lados da equação estão corretas, decorrendo de propriedades satisfeitas
pelos números reais (até onde sabemos), que são as distributividade e a comutatividade.
Portanto, podemos realmente concluir que
(a + b)(a − b) = b(a − b).
Em seguida, notando que em ambos os lados da equa¸c˜ao temos dois produtos envolvendo
um termo comum, isto ´e, a−b, cancelamos ou elimininamos este termo comum, simplificando
a expressão:
a + b = b.
O que nos dá o direito de fazer isso? É realmente uma propriedade satisfeita pelos números
reais que sempre que temos
xz = yz,
podemos cancelar o z obtendo
x = y?
Descrevendo isto de outro modo, se temos dois números x e y tais que o produtos de cada
um deles pelo número z dá o mesmo número (xz = yz), será que isso só é possível se os
números x e y forem o mesmo número? Na verdade, não. Isso vai depender do número z. Se
z for igual a 0, então, apesar de que xz = yz, não precisamos ter necessariamente x = y. Isso
se deve ao fato de que qualquer número multiplicado por 0 ´e igual a 0. Assim, poderíamos
muito bem ter
x = 3,
y = 4,
portanto x 6= y,
z = 0,
portanto xz = 3 · 0 = 0 = 4 · 0 = yz.
A chamada “lei do cancelamento” dos números que permite cancelar z de ambos os lados
da equação só vale se z 6= 0. Ela ´e uma consequência lógica do fato de todos os números
3
diferentes de 0 possuírem inversos multiplicativos. Em outras palavras, quando z 6= 0, nós
podemos dividir ambos os lados da equação xz = yz por z (o que equivale a multiplicar
ambos os lados da equação por 1/z, que ´e o inverso multiplicativo de z, isto ´e, o número que
multiplicado por z produz o número 1) para obter x = y. Se z = 0, não podemos dividir os
lados da equação por z, pois não faz sentido dividir por 0.
Voltando `a análise da equação
(a + b)(a − b) = b(a − b),
perguntamos novamente se podemos dividir ambos os lados da equação por a − b. Como
acabamos de ver, só podemos fazer isso se a − b 6= 0. Mas, se lembrarmos o início do nosso
raciocínio, a nossa hipótese inicial era que a = b. Isso significa que a−b = 0 e não podemos
cancelar o termo a − b de ambos os lados da equação. Este foi o erro do nosso raciocínio:
dividimos ambos os lados da equação por 0.
Portanto, podemos nos sentar confortavelmente e voltar a viver as nossas vidas, com a
nossa crença de que 2 é diferente de 1 inabalada...
Observação. O passo seguinte a
a + b = b,
envolveu substituir a por b; já que eles representam o mesmo número, não há nada que
impeça isso do ponto de vista lógico. Fazendo isso, obtivemos no lado esquerdo da equação
a + b = b + b = 2b, e portanto chegamos `a equação
2b = b
e dividimos por b para obter 2 = 1. Novamente, para que não houvesse um erro de divisão
por 0 aqui, teríamos que colocar além da nossa hipótese inicial a = b, outra hipótese inicial
extra: que b (e portanto também a, já que eles representam o mesmo número) ´e um número
diferente de 0. Isso, porém, ´e irrelevante agora, já que antes de chegar neste ponto o nosso
raciocínio já estava incorreto.
O exemplo que acabamos de discutir mostra um erro de raciocínio comum: utilizar uma
propriedade de forma errônea, em uma situação onde ela não ´e válida (a lei do cancelamento
não vale se o fator ´e o número 0) . No próximo exemplo, veremos um erro de lógica
frequentemente encontrado em provas, nas resoluções de questões teóricas pelos estudantes
de GAAL.
fazendo a
hipótese
a = b.
Não há nada que proíba a gente de fazer esta hipótese. Estamos simplesmente dizendo que
as letras a e b se referem ao mesmo número. Podemos, por exemplo, escolher simbolizar o
número 5 pela letra a e também pela letra b:
a = 5;
b = 5;
e neste caso certamente temos a = b. Outra maneira de dizer isso, ´e que estamos atribuindo
`as variáveis a e b o mesmo valor, ou seja, 5. Para efeitos do raciocínio da página anterior,
em nenhum momento foi importante saber qual o valor de a e b (ou foi?), apenas que a e b
tinham o mesmo valor. Não há nenhum erro de lógica aqui.
Em seguida, multiplicamos ambos os lados da igualdade por a e afirmamos que a igualdade
se mantinha:
aa = ab.
Na verdade, ao invés de escrevermos aa no lado esquerdo da equação, escrevemos a2:
a2 = ab.
mas esta é apenas uma forma abreviada de se escrever aa e não tem a menor importância.
Existe alguma dúvida de que a igualdade se mantém quando multiplicamos ambos os lados
de uma equação pelo mesmo número? Quando multiplicamos duas coisas iguais pelo mesmo
número, obtemos números iguais. Ou seja, por exemplo, tínhamos antes
5 = 5,
e multiplicamos ambos os lados desta equação por 5 (pois a = 5). Em cada lado obtemos 25
e obviamente a igualdade se mantém:
25 = 25.
Alguma dúvida? Isso é pura lógica. Certamente o erro no raciocínio, se ´e que existe algum,
não está aqui.
No próximo passo, subtraímos de ambos os lados da equação o número b2, obtendo
a2 − b2 = ab − b2
Isso também ´e verdade: quando subtraímos coisas iguais de coisas iguais, a igualdade se
Mantém. Ou seja, por pura lógica, concluímos que também neste passo não há erro.
2
No passo seguinte, fatoramos as expressões de ambos os lados. No lado esquerdo temos
o produto notável:
a2 − b2 = (a + b)(a − b),
e no lado esquerdo simplesmente colocamos o número b em evidência:
ab − b2 = (a − b)b = b(a − b).
As fatorações em ambos os lados da equação estão corretas, decorrendo de propriedades satisfeitas
pelos números reais (até onde sabemos), que são as distributividade e a comutatividade.
Portanto, podemos realmente concluir que
(a + b)(a − b) = b(a − b).
Em seguida, notando que em ambos os lados da equa¸c˜ao temos dois produtos envolvendo
um termo comum, isto ´e, a−b, cancelamos ou elimininamos este termo comum, simplificando
a expressão:
a + b = b.
O que nos dá o direito de fazer isso? É realmente uma propriedade satisfeita pelos números
reais que sempre que temos
xz = yz,
podemos cancelar o z obtendo
x = y?
Descrevendo isto de outro modo, se temos dois números x e y tais que o produtos de cada
um deles pelo número z dá o mesmo número (xz = yz), será que isso só é possível se os
números x e y forem o mesmo número? Na verdade, não. Isso vai depender do número z. Se
z for igual a 0, então, apesar de que xz = yz, não precisamos ter necessariamente x = y. Isso
se deve ao fato de que qualquer número multiplicado por 0 ´e igual a 0. Assim, poderíamos
muito bem ter
x = 3,
y = 4,
portanto x 6= y,
z = 0,
portanto xz = 3 · 0 = 0 = 4 · 0 = yz.
A chamada “lei do cancelamento” dos números que permite cancelar z de ambos os lados
da equação só vale se z 6= 0. Ela ´e uma consequência lógica do fato de todos os números
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diferentes de 0 possuírem inversos multiplicativos. Em outras palavras, quando z 6= 0, nós
podemos dividir ambos os lados da equação xz = yz por z (o que equivale a multiplicar
ambos os lados da equação por 1/z, que ´e o inverso multiplicativo de z, isto ´e, o número que
multiplicado por z produz o número 1) para obter x = y. Se z = 0, não podemos dividir os
lados da equação por z, pois não faz sentido dividir por 0.
Voltando `a análise da equação
(a + b)(a − b) = b(a − b),
perguntamos novamente se podemos dividir ambos os lados da equação por a − b. Como
acabamos de ver, só podemos fazer isso se a − b 6= 0. Mas, se lembrarmos o início do nosso
raciocínio, a nossa hipótese inicial era que a = b. Isso significa que a−b = 0 e não podemos
cancelar o termo a − b de ambos os lados da equação. Este foi o erro do nosso raciocínio:
dividimos ambos os lados da equação por 0.
Portanto, podemos nos sentar confortavelmente e voltar a viver as nossas vidas, com a
nossa crença de que 2 é diferente de 1 inabalada...
Observação. O passo seguinte a
a + b = b,
envolveu substituir a por b; já que eles representam o mesmo número, não há nada que
impeça isso do ponto de vista lógico. Fazendo isso, obtivemos no lado esquerdo da equação
a + b = b + b = 2b, e portanto chegamos `a equação
2b = b
e dividimos por b para obter 2 = 1. Novamente, para que não houvesse um erro de divisão
por 0 aqui, teríamos que colocar além da nossa hipótese inicial a = b, outra hipótese inicial
extra: que b (e portanto também a, já que eles representam o mesmo número) ´e um número
diferente de 0. Isso, porém, ´e irrelevante agora, já que antes de chegar neste ponto o nosso
raciocínio já estava incorreto.
O exemplo que acabamos de discutir mostra um erro de raciocínio comum: utilizar uma
propriedade de forma errônea, em uma situação onde ela não ´e válida (a lei do cancelamento
não vale se o fator ´e o número 0) . No próximo exemplo, veremos um erro de lógica
frequentemente encontrado em provas, nas resoluções de questões teóricas pelos estudantes
de GAAL.
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