Olá Pessoal,
Gostaria de lembrar que a Olímpiada de Matemática das Escolas Públicas,acontece no dia 08/06/2010 na sua escola.Para um melhor estudo segue abaixo um link das provas anteriores e suas respectivas soluções.
Bons Estudos!!!!!!
http://www.obmep.org.br/provas.html
quarta-feira, 26 de maio de 2010
quarta-feira, 19 de maio de 2010
História dos Números
ORIGEM DOS NÚMEROS
Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:
a. O modo como surgiram os números?
b. Como foram as primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.
Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:
a. O modo como surgiram os números?
b. Como foram as primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.
Estatística - Introdução
INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA
1. BREVE HISTÓRICO
– Todos os dias, ouvimos pela TV ou lemos nos jornais, sobre as atividades relacionadas com algumas pesquisas realizadas nos mais diversos campos ou áreas científicas, como saúde, educação, sociologia, trabalho, loterias, etc..
Esses estudos levam em consideração, determinados aspectos que relacionam etapas do trabalho, com o intuito de facilitar a comunicação e ainda, apresentar os resultados de forma mais coerente.
O uso da pesquisa é bastante comuns nas mais diversas atividades humanas. Por exemplo:
• Antes do lançamento de um novo produto no mercado, as indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores, para saber sobre a aceitação desse produto, antes do lançamento;
• Nas campanhas eleitorais, os candidatos costumam realizar pesquisas, no sentido de obter subsídios ou elementos para o direcionamento da campanha;
• Para organizar sua programação, as emissoras de TV utilizam das pesquisas para direcionar ou organizar sua programação;
A realização dessas pesquisas envolve muitas etapas, tais como, a escolha da amostra, a coleta e organização dos dados (tratamento da informação), resumo dos dados (em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos resultados.
A parte da matemática que trata desses assuntos é a Estatística.
Mas o que é Estatística?
Esses estudos levam em consideração, determinados aspectos que relacionam etapas do trabalho, com o intuito de facilitar a comunicação e ainda, apresentar os resultados de forma mais coerente.
O uso da pesquisa é bastante comuns nas mais diversas atividades humanas. Por exemplo:
• Antes do lançamento de um novo produto no mercado, as indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores, para saber sobre a aceitação desse produto, antes do lançamento;
• Nas campanhas eleitorais, os candidatos costumam realizar pesquisas, no sentido de obter subsídios ou elementos para o direcionamento da campanha;
• Para organizar sua programação, as emissoras de TV utilizam das pesquisas para direcionar ou organizar sua programação;
A realização dessas pesquisas envolve muitas etapas, tais como, a escolha da amostra, a coleta e organização dos dados (tratamento da informação), resumo dos dados (em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos resultados.
A parte da matemática que trata desses assuntos é a Estatística.
Mas o que é Estatística?
2. CONCEITO.
– A Estatística é a parte da Matemática que trata dos métodos científicos para coleta, organização, resumo, apresentação e análise dos dados.
De origem muito antiga, a Estatística teve durante séculos um caráter meramente descritivo e de registro de ocorrências. As primeiras atividades datam 2000 a.C. e referem-se a iniciativas de realizar cadastramento ou recenseamento das populações agrícolas chinesas.
O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que, entre outros tópicos, envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados a inferência e o processamento e análise das informações.
3. ETAPAS DO TRABALHO ESTATÍSTICO.
De origem muito antiga, a Estatística teve durante séculos um caráter meramente descritivo e de registro de ocorrências. As primeiras atividades datam 2000 a.C. e referem-se a iniciativas de realizar cadastramento ou recenseamento das populações agrícolas chinesas.
O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que, entre outros tópicos, envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados a inferência e o processamento e análise das informações.
3. ETAPAS DO TRABALHO ESTATÍSTICO.
Em um trabalho estatístico podemos admitir as seguintes etapas:
COLETA DE DADOS, a partir de uma amostra escolhida da população.
Essa é a etapa inicial do trabalho estatístico e consiste, principalmente, em recolher os dados brutos, realizados a partir da amostra escolhida no universo estatístico;
ANÁLISE DESCRITIVA, com resumo e interpretação dos dados coletados.
É a fase do trabalho estatístico, que descreve através de um resumo, a interpretação dos dados coletados;
Escolha de um MODELO explicativo.
É a fase do trabalho estatístico que procura explicar o comportamento do objeto em estudo, a fim de fazer, numa
etapa posterior, a análise confirmativa dos dados, também conhecida como inferência.
4. TRATAMENTO DAS INFORMAÇÕES.
Para o tratamento dessas informações, a Estatística pode ser dividida em: descritiva e indutiva.
A Estatística descritiva descreve e analisa um conjunto de dados, sem tirar conclusões.
A Estatística indutiva ou Inferência estatística trata das inferências e conclusões, ou seja, com base na análise de dados são tiradas as conclusões.
A parte da Estatística que nos interessa é a da Estatística Descritiva, pois é ela que organiza, descreve e analisa, dados experimentais colhidos, apresentando-os em tabelas e gráficos de modo a tornar mais compreensivas e interessantes as pesquisas.
Para iniciar o nosso estudo sobre a Estatística, vamos definir alguns conceitos preliminares e importantes que fazem parte do tratamento da informação e nos ajudam a compreender e avaliar essas informações que chegam a toda hora pelos mais diversos meios de comunicação.
Imagine a seguinte situação.
Durante um telejornal, o repórter divulgou uma pesquisa segundo a qual apenas 5% dos brasileiros têm o hábito de ler jornal diariamente.
Você já pensou como são feitas as pesquisas como essa? Como é possível entrevistar toda a população brasileira para se saber a porcentagem de leitores de jornal?
Veremos que no estudo da estatística, não é necessário entrevistar toda a população para se chegar a uma determinada conclusão sobre ela.
Chegar a esse tipo de conclusão também é o objeto da Estatística.
5. NOÇÃO DE POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO.
A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população ou universo estatístico.
A cada elemento da população estudada, denominamos de unidade estatística ou elemento.
Assim, quando é feita uma coleta de dados sobre um determinado assunto, chama-se universo estatístico ou população estatística o conjunto formado por todos os elementos que possam oferecer dados pertinentes ao assunto em questão.
Dessa forma Universo Estatístico ou População Estatística é o conjunto de todos os elementos que compõem o estudo em questão. Exemplos:
a) O governo brasileiro encomenda ao IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), uma pesquisa para conhecer o salário médio do brasileiro.
O universo estatístico ou a população estatística é nesse caso, o conjunto de todos os assalariados brasileiros.
Para isso, encomenda uma pesquisa a uma empresa especializada. O universo estatístico ou população estatística é, nesse caso, o conjunto de todos os eleitores brasileiros.
b) Um partido político quer conhecer a tendência do eleitorado quanto à preferência entre dois candidatos à Presidência do Brasil.
6. NOÇÃO DE AMOSTRA.
Quando o universo estatístico é muito grande ou quando não é possível coletar dados de todos os seus elementos, retira-se desse universo um subconjunto, chamado de amostra, no qual os dados são coletados.
Dessa forma, a amostra considera apenas uma pequena parte do todo (do universo).
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto.
Exemplos;
a) Numa pesquisa sobre as eleições, a população é formada por todos os cidadãos com direito a voto e a amostra é formada pelos eleitores que serão entrevistados e os indivíduos são as pessoas que serão entrevistadas.
b) Numa pesquisa para se verificar a durabilidade das marcas de lâmpadas dos diversos fabricantes, cada marca é um objeto da pesquisa.
7 . VARIÁVEL.
Em Estatística, uma variável é um atributo mensurável que varia tipicamente entre os indivíduos.
Dessa forma, a observação da população é dirigida ao estudo de uma dada propriedade ou característica dos elementos dessa população ou desse universo estatístico.
Exemplos:
A cor de um veículo, o sexo de uma criança, a idade de um jovem, etc., são variáveis das pesquisas.
Quanto ao tipo, as variáveis podem ser:
1. Qualitativa – São aquelas que apresentam uma qualidade ou um atributo sobre o “indivíduo” pesquisado. Se baseiam em qualidades e não podem ser mensuráveis. São atributos que não apresentam números em sua constituição, tais como: raça, área de estudos, meio de transporte, etc.
Podem ser subdivididas em:
a) Variável qualitativa ordinal – Quando podem ser colocadas em ordem. Exemplo: a classe social (A, B, C, D ou E).
b) Variável qualitativa nominal – Quando não podem ser hierarquizadas ou ordenadas. Exemplo: cor dos olhos, local de nascimento.
2. Quantitativa – Aquelas que se apresentam em formas de valores ou números, tais como: altura, peso, idade em anos, número de irmãos, etc.
Quando uma variável pode assumir qualquer valor real entre dois valores dados é chamada de variável contínua. Caso isso não seja possível, a variável é chamada de variável discreta.
Por isso as variáveis quantitativas, podem ser subdivididas em:
a) Variável Quantitativa Discreta. Quando não pode assumir todos os valores das variáveis, ou seja, assumem valores dentro de um espaço finito ou enumerável, tipicamente números inteiros. Um exemplo é o número de filhos de uma pessoa;
b) Variável Quantitativa Contínua. Quando pode assumir todos os valores de um conjunto contínuo, tipicamente os números reais. Por exemplo: o peso ou a altura de uma pessoa.
Dessa forma, as contagens resultam em variáveis discretas e as medições resultam em variáveis contínuas;
Por exemplo, os resultados do lançamento de um dado podem assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas não os valores intermediários iguais a 2,3 ou 3,2; portanto, a variável é uma variável discreta.
Já os pesos ou as alturas de um conjunto de pessoas podem assumir, teoricamente, qualquer valor; portanto, é uma variável contínua.
8. FREQUÊNCIA.
Já vimos que os valores distribuídos ou assinalados de forma aleatória numa amostragem são denominados DADOS BRUTOS. Ao número de vezes que uma variável se apresenta, ou se repete numa amostragem, denominamos de freqüência.
9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.
Uma DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ocorre quando os valores são indicados ou agrupados de uma forma ordenada levando-se em consideração os seus extremos.
O primeiro passo para obtenção de informações mais resumidas e precisas a respeito do comportamento das variáveis, é a construção das tabelas de freqüência.
Uma tabela de freqüência é encontrada quando para cada variável estudada, contamos o número de vezes que a variável aparece, em realizações ou valores.
Essa nova tabela encontrada é denominada TABELA DE FREQUÊNCIA.
Uma tabela de freqüência pode se apresentar de forma absoluta (FA) ou forma relativa (FR).
Considerando o exemplo do livro de Gelson Iezzi (pg. 08) sobre os freqüentadores do cinema, para a variável Estado Civil, encontramos os seguintes valores absolutos:
Solteiro: 9 casado: 8 separado: 3
Observe-se que a freqüência absoluta não é uma medida muito significativa para a análise de dados, especialmente se desejamos comparar a distribuição da mesma variável em populações (universo) diferentes.
Assim, precisamos definir uma medida que considere o total das observações colhidas. Essa medida é a freqüência relativa.
A freqüência relativa é definida como a razão entre a freqüência absoluta e o total de observações:
FR (Freqüência relativa) = Frequência absoluta / total de observação
Podem ser subdivididas em:
a) Variável qualitativa ordinal – Quando podem ser colocadas em ordem. Exemplo: a classe social (A, B, C, D ou E).
b) Variável qualitativa nominal – Quando não podem ser hierarquizadas ou ordenadas. Exemplo: cor dos olhos, local de nascimento.
2. Quantitativa – Aquelas que se apresentam em formas de valores ou números, tais como: altura, peso, idade em anos, número de irmãos, etc.
Quando uma variável pode assumir qualquer valor real entre dois valores dados é chamada de variável contínua. Caso isso não seja possível, a variável é chamada de variável discreta.
Por isso as variáveis quantitativas, podem ser subdivididas em:
a) Variável Quantitativa Discreta. Quando não pode assumir todos os valores das variáveis, ou seja, assumem valores dentro de um espaço finito ou enumerável, tipicamente números inteiros. Um exemplo é o número de filhos de uma pessoa;
b) Variável Quantitativa Contínua. Quando pode assumir todos os valores de um conjunto contínuo, tipicamente os números reais. Por exemplo: o peso ou a altura de uma pessoa.
Dessa forma, as contagens resultam em variáveis discretas e as medições resultam em variáveis contínuas;
Por exemplo, os resultados do lançamento de um dado podem assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas não os valores intermediários iguais a 2,3 ou 3,2; portanto, a variável é uma variável discreta.
Já os pesos ou as alturas de um conjunto de pessoas podem assumir, teoricamente, qualquer valor; portanto, é uma variável contínua.
8. FREQUÊNCIA.
Já vimos que os valores distribuídos ou assinalados de forma aleatória numa amostragem são denominados DADOS BRUTOS. Ao número de vezes que uma variável se apresenta, ou se repete numa amostragem, denominamos de freqüência.
9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.
Uma DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ocorre quando os valores são indicados ou agrupados de uma forma ordenada levando-se em consideração os seus extremos.
O primeiro passo para obtenção de informações mais resumidas e precisas a respeito do comportamento das variáveis, é a construção das tabelas de freqüência.
Uma tabela de freqüência é encontrada quando para cada variável estudada, contamos o número de vezes que a variável aparece, em realizações ou valores.
Essa nova tabela encontrada é denominada TABELA DE FREQUÊNCIA.
Uma tabela de freqüência pode se apresentar de forma absoluta (FA) ou forma relativa (FR).
Considerando o exemplo do livro de Gelson Iezzi (pg. 08) sobre os freqüentadores do cinema, para a variável Estado Civil, encontramos os seguintes valores absolutos:
Solteiro: 9 casado: 8 separado: 3
Observe-se que a freqüência absoluta não é uma medida muito significativa para a análise de dados, especialmente se desejamos comparar a distribuição da mesma variável em populações (universo) diferentes.
Assim, precisamos definir uma medida que considere o total das observações colhidas. Essa medida é a freqüência relativa.
A freqüência relativa é definida como a razão entre a freqüência absoluta e o total de observações:
FR (Freqüência relativa) = Frequência absoluta / total de observação
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