O Plágio

Evitando Plágio

Ken Kirkpatrick

DePauw University

As orientações seguintes definem e descrevem o plágio e dão diretrizes gerais para o uso de fontes bibliográficas em redações.
As políticas sobre plágio podem variar de curso para curso, e em alguns campos a definição de plágio pode precisar ser estendida ou modificada. Se você tiver dúvidas, confira com seu professor ou com algum guia de documentação confiável no seu campo.


O Plágio Definido

Plagiar é apresentar como seu o trabalho de alguma outra pessoa. Algumas vezes, a linha divisória entre tomar emprestado e roubar não é conhecida com clareza. Em uma comunidade intelectual, idéias circulam livremente. A maioria das investigações intelectuais não poderia ocorrer sem empréstimos dos trabalhos de outros. Escritores honestos e responsáveis indicam seus débitos para com outros ao fazer clara referência ao material tomado emprestado. Escritores desonestos ou irresponsáveis freqüentemente deixam de fazer referência aos seus empréstimos e, portanto, tornam-se culpados de plágio.
Um trabalho plagiado é fácil de reconhecer por não indicar claramente os empréstimos. Ele é cheio de fatos, observações e idéias que o escritor não poderia ter desenvolvido sozinho e é escrito num estilo diferente. Os escritores experientes, tanto quanto os plagiadores, se baseiam em outros escritores; eles sabem que suas idéias são geradas no contexto das idéias dos outros. Por uma questão de honra, eles indicam seus débitos para com outros escritores e, ao fazê-lo, indicam mais claramente sua própria contribuição original.
Algumas vezes é difícil decidir fazer ou não referência a uma fonte. Mas se você souber como usar e fazer referência a fontes e se for cuidadoso ao registrar os empréstimos, nunca terá um problema de plágio quando estiver escrevendo seu texto.


Palavras que Você Precisa Conhecer
Citação: uma cópia palavra por palavra do que alguém disse ou escreveu. Em um escrito, uma passagem citada é indicada pelo acréscimo de aspas no início e no fim da citação ou, se a citação for longa, pela sua colocação em um parágrafo separado do texto principal e recuado. A fonte da citação precisa, ainda, ser referenciada, seja no próprio texto ou em nota de rodapé.
Paráfrase: Numa paráfrase, você reformula com suas próprias palavras algo que sua fonte disse. Muitas redações são quase integralmente paráfrases. Um propósito de se parafrasear, ao invés de citar, é colocar algo em palavras que sua audiência irá compreender. Artigos em revistas populares de ciência freqüentemente parafraseiam artigos mais difíceis de periódicos científicos. Dizer algo com suas próprias palavras é, em si, uma atividade intelectual importante: ela demonstra que você compreende e é capaz de trabalhar com o material. Uma paráfrase tem que ser referenciada; caso contrário, ela será um caso de plágio tanto quanto uma cópia palavra por palavra sem referência à fonte. Dizer algo com suas próprias palavras não torna seu esse algo.Resumo: Assim como a paráfrase, o resumo de uma fonte é feito com suas próprias palavras, mas um resumo é consideravelmente mais curto e não segue a fonte tão de perto quanto a paráfrase. Novamente, você deve referenciar a fonte do resumo.
Referência: identifica a fonte de uma citação, paráfrase ou resumo. A prática de referenciar varia consideravelmente em diferentes tipos de escrita. No jornalismo, usualmente é suficiente citar a fonte no próprio texto pelo nome do autor. Alguns escritos acadêmicos e profissionais requerem somente uma breve referência textual, usualmente o nome do autor, o título do livro ou periódico em que ele apareceu e, talvez, o número da página. Mas a maioria dos escritos profissionais e acadêmicos exige uma referência completa, seja no próprio texto ou numa combinação de referência entre parêntesis no texto e uma entrada bibliográfica completa numa Lista de Trabalhos Referenciados.

Tipos de Plágio

1. Plágio Direto: Consiste em copiar uma fonte palavra por palavra sem indicar que é uma citação e sem fazer referência ao autor.
2. Tomar emprestado o trabalho de outros estudantes: Dormitórios, repúblicas e fraternidades provêem atmosferas propícias para o empréstimo de textos. Não há nada errado em estudantes ajudarem uns aos outros ou trocarem informações. Mas você deve escrever seus próprios textos. Apresentando um texto que alguma outra pessoa escreveu é um caso especial de plágio direto.

3. Referência Vaga ou Incorreta: Um escritor deve indicar onde um empréstimo começa e termina. Algumas vezes, um escritor faz referência a uma fonte uma vez, e o leitor presume que as sentenças anteriores ou parágrafos tenham sido parafraseados quando na verdade a maior parte do texto é uma paráfrase desta única fonte. O escritor falhou na indicação clara dos seus empréstimos. Paráfrases e resumos devem ter seus limites indicados por referências -- no começo com o nome do autor, no fim com referência entre parêntesis. O escritor deve sempre indicar quando uma paráfrase, resumo ou citação começa, termina ou é interrompida.

4. Plágio Mosaico: esse é o tipo de plágio mais comum. O Escritor não faz uma cópia da fonte diretamente, mas muda umas poucas palavras em cada sentença ou levemente reformula um parágrafo, sem dar crédito ao autor original. Esses parágrafos ou sentenças não são citações, mas estão tão próximas de ser citações que eles deveriam ter sido citados ou, se eles foram modificados o bastante para serem classificados como paráfrases, deveria ter sido feito referência à fonte.

Porque Estudantes Plagiam

Estudantes que plagiam geralmente se enquadram em duas categorias. A primeira inclui aqueles que têm dificuldade de escrever redações corretas e coerentes. Eles podem nunca ter recebido boas instruções de redação; eles podem nunca ter escrito muito; eles podem não ser falantes nativos de inglês e ter dificuldade de escrever em inglês. Seja qual for a razão, eles descobrem que, mesmo depois de trabalhar arduamente e por muito tempo, ainda recebem notas baixas em seus escritos. Devido à frustração e ao receio, eles podem plagiar um texto, copiando-o palavra por palavra ou fazendo somente algumas pequenas mudanças nas palavras (plágio mosaico).
Ao invés de plagiar, esses estudantes deveriam procurar assistência de seu professor, do Centro de Redação ou de um tutor ou conselheiro que possa ajudá-lo não somente com alguma dificuldade de aprendizagem, mas também com a frustração, o medo e o estresse.

A segunda categoria consiste de estudantes que, embora escrevam bem o bastante, consideram plagiar tentador. Geralmente, esses estudantes temem receber uma nota menor do que a esperada por eles ou por seus pais, ou, então, atrasaram-se nos trabalhos do curso e sentem que não têm mais tempo para escrever um texto. Eles podem sentir que não podem dar conta da tarefa determinada pelo professor ou que não têm nenhuma boa idéia sobre o assunto.
Comumente, não há motivo para esse último temor. Uma vez que você comece a escrever, usualmente descobrirá que tem algo a dizer.
Mesmo bons estudantes ocasionalmente se atrasam nos trabalhos de seu curso. Quando isso acontece, você deve discutir o problema com seu professor. Ele ou ela poderá penalizá-lo por entregar um trabalho com atraso, mas trabalho atrasado é preferível a trabalho plagiado. Se você acha que está sobrecarregado pelo seu trabalho de curso, que você está constantemente se atrasando e está sem condições de recuperar o atraso, você deverá marcar uma visita com um conselheiro de Assuntos Acadêmicos. Ele ou ela poderá lhe ajudar a administrar melhor seu tempo e o estresse da vida universitária.



Compreenda que plagiar um texto é sempre a pior solução para qualquer problema acadêmico.

Um Caso de Plágio
Richard Marius, em seu texto sobre plágio para a Universidade de Harvard, refere-se a um caso de plágio mosaico. G. R. V. Barratt, na introdução a uma antologia chamada The Decembrist Memoirs (l974), plagiou de vários trabalhos, incluindo The Decembrists (l966) de Marc Raeff. Em uma passagem, Raeff escreveu:
Em 1825, o dia 14 de dezembro era a data fixada para o juramento de submissão ao novo Imperador, Nicolau I. Somente alguns dias antes, em 27 de novembro, quando as notícias da morte de Alexandre I chegaram à capital, um juramento de submissão havia sido feito ao irmão mais velho de Nicolau, Grão Duque Constantino, Vice-rei da Polônia. Mas, em consonância com seu ato de renúncia feito em 1819, Constantino recusara a coroa. O virtual interregno agitou a sociedade e produziu intranqüilidade nas tropas, deixando o governo receoso da ocorrência de desordens e distúrbios. Agentes policiais relataram a existência de sociedades secretas e rumores de um golpe a ser dado por regimentos das Guardas. O novo Imperador ansiava que o juramento fosse tão calmo quanto possível. Os membros das instituições centrais do governo -- Conselho de Estado, Senado, Ministérios -- fizeram o juramento sem incidentes, de manhã cedo. Na maioria dos regimentos da guarnição o juramento também foi feito pacificamente.
Barratt apresentou o mesmo parágrafo, modificando somente umas poucas palavras e detalhes:
Em 1825, o dia 14 de dezembro era a data na qual os regimentos das Guardas em Petersburgo iriam jurar submissão solene a Nicolau I, o novo Imperador. Menos de três semanas antes, quando chegaram à capital as notícias da morte de Alexandre I vindas de Taganrog no mar de Azov, um juramento, não menos solene e legítimo, havia sido feito ao irmão mais velho de Nicolau, o Grão Duque Constantino, vice-rei da Polônia. Constantino, entretanto, havia declinado de ser imperador, em consonância com dois atos separados de renúncia feitos em 1819 e, secretamente, em 1822. O efetivo interregno causou intranqüilidade na sociedade e no exército. O governo temia alguma desordem -- com certa razão, uma vez que agentes da polícia relataram a existência de vários grupos clandestinos e rumores de um golpe a ser efetivado por homens da Guarda. Nicholas ansiava que o juramento fosse feito pronta e calmamente. À primeira vista, parecia que as coisas se passavam como ele queria; senadores, ministros e membros do Conselho de Estado fizeram o juramento às 9 da manhã. Na maioria dos regimentos da guarnição, o juramento também foi feito pacificamente

Exercício: Para ver porque esse mosaico é um plágio, compare as duas versões linha por linha. Quais mudanças Barrat fez? Por que você acha que ele fez essas mudanças? Por que esse é um caso de plágio apesar das mudanças feitas por Barrat?



Modos de Evitar Plágio

Reserve muito tempo para pesquisar e escrever seu texto. Inicie a pesquisa suficientemente cedo para determinar se seu tópico é trabalhável. Estudantes que apresentam um trabalho sobre um tópico diferente do proposto ou daquele sobre o qual fizeram trabalhos preliminares são freqüentemente suspeitos de plágio. Quando você não consegue encontrar o material que precisa e não tem tempo suficiente para começar um novo tópico, plagiar é uma grande tentação.

Quando para escrever um texto você precisar consultar outras fontes bibliográficas, dê a si próprio tempo suficiente para digerir a pesquisa. Se você está trabalhando diretamente do livro fonte, você pode começar a fazer um plágio mosaico. Se você escrever uma primeira versão sem usar o material fonte, e, então, consultar novamente a fonte e incorporar as citações que você precisa e indicar seus empréstimos, você poderá perceber que produziu um texto mais original. A originalidade resulta da síntese do que você leu.

Tome notas cuidadosamente durante a pesquisa, incluindo referências bibliográficas completas. Isso irá assegurar que você possa facilmente fazer referência à fonte quando estiver preparando a versão final. Muitos estudantes escrevem suas versões finais tarde da noite, depois da biblioteca estar fechada, e, quando percebem que esqueceram de anotar os dados bibliográficos, ficam tentados a não se preocupar com a referência à fonte.

Transforme num hábito colocar entre parêntesis referências para todas as fontes de onde você fez empréstimos em cada versão que você escreve. Isso irá lhe poupar tempo porque você não terá que revisitar os textos referidos quando estiver preparando a versão final.

Enquanto faz sua pesquisa e escreve seu texto, mantenha à mão um bom guia de documentação [um texto contendo as regras de como fazer referências bibliográficas].

Confie em você mesmo. Até mesmo os melhores escritores freqüentemente não têm consciência de suas boas idéias e acham que não têm nada a dizer quando na verdade seus escritos dizem muito. Idéias originais resultam de se trabalhar estreitamente com idéias de outros, não de flashes de inspiração.

Saiba onde conseguir ajuda. Além de seu professor, também o Centro de Redação [Writing Center] pode lhe ajudar. Bibliotecários de referência podem lhe ajudar com sua pesquisa. Conselheiros universitários podem lhe ajudar com problemas como manejo do tempo, estresse e dificuldades de aprendizagem. Seus serviços são confidenciais e gratuitos. Finalmente, seu conselheiro acadêmico pode ajudá-lo a ter uma visão realista do seu trabalho de curso.



Plágio na Internet:
Existem hoje numerosos sites que vendem ou distribuem trabalhos universitários na Internet. Em alguns aspectos, eles são muito parecidos com as fábricas de trabalhos finais de curso [term paper mills] anunciadas na contracapa de revistas como Rolling Stone. Na Internet, suas ofertas são mais tentadoras porque os trabalhos podem ser baixados (e pagos) imediatamente -- uma forte tentação para um estudante pouco endinheirado precisando de um trabalho às 4 da madrugada. Uma vez que os trabalhos são transmitidos eletronicamente, eles podem ser facilmente editados em um processador de textos.

Em outros aspectos, os sites com trabalhos de faculdade diferem das fábricas de trabalhos finais. Devido à montagem de um site ser barata, quando comparado à compra de espaço para anúncio em revistas, há mais sites “amadores” onde você pode comprar trabalhos. Esses oferecem um diferente tipo de trabalho. Trata-se de fábricas de trabalhos finais especializadas em trabalhos finais genéricos, os quais têm seu preço determinado pelo tamanho e pelo número de fontes citadas. Eles são escritos aproximadamente no nível de um bom ensaio de pesquisa de faculdade e não para uma publicação profissional e usam fontes que um estudante de faculdade provavelmente encontraria numa biblioteca da graduação. Entretanto, os professores facilmente reconhecem esses trabalhos. Eles tendem a ser genéricos -- por exemplo, um trabalho de sete páginas sobre novos tratamentos para a esquizofrenia -- e usualmente são escritos num estilo leve e informativo. Embora empreguem boas fontes, freqüentemente elas não são as mesmas discutidas em sala de aula, e, portanto, parecem um pouco deslocadas. Finalmente, eles são livres de erro, um pouco bom demais para ser verdade, principalmente para estudantes que não tenham escrito assim antes.

Site da Internet estão agora oferecendo verdadeiros trabalhos de estudantes, os quais são comprados diretamente de estudantes de faculdade. Para um professor, esses realmente se parecem com trabalhos reais, como se tivessem sido escritos em resposta a idéias levantadas em sala de aula e não como informação genérica sobre um tópico. Por exemplo, um trabalho que eu encontrei por acaso sobre Jane Ayre como uma romancista marxista poderia facilmente ter sido baseado numa discussão que eu fizera em sala sobre como Bronte e Marx viam a situação de classe na Inglaterra. O trabalho estava escrito na voz de um bom estudante do primeiro ano que estava explorando essas idéias pela primeira vez e havia alguns erros nele. Tivesse ele me sido entregue por um aluno meu, eu provavelmente não o teria percebido a fraude a não ser que o estilo da redação diferisse radicalmente do que eu já tivesse visto deste estudante.

A Internet fornece uma outra oportunidade para o plágio. Muitos professores estão montando sites para suas turmas, onde os estudantes colocam os trabalhos escritos para o curso. Isso permite aos estudantes de uma classe ler e comentar os trabalhos uns dos outros sem a necessidade de fotocopiar textos em massa normalmente envolvida neste tipo de trabalho em grupo. Uma vez que qualquer arquivo na Internet pode ser baixado como um arquivo de texto, esses trabalhos podem ser copiados por qualquer um que tenha acesso a eles.
Então, se pegar textos na Internet é tão fácil e barato, por que não fazê-lo?
Primeiro, há uma chance de que o roubo não ficará impune. No passado, a maioria dos professores relutaria em acusar um estudante de plágio a não ser que tivesse evidências diretas (usualmente, a fonte de onde o estudante fez a cópia). À medida que comprar e “tomar emprestado” trabalhos da Internet torna-se mais comum, é provável que os professores se disporão a fazer acusações de plágio com base em evidências indiretas, tais como uma notável diferença de estilo e vocabulário de dois textos apresentados pelo estudante. É provável que os professores também demandem rascunhos e peçam que as redações abordem temas específicos. Tais demandas limitam enormemente a oportunidade de plagiar.
Segundo, as penalidades pelo plágio da Internet podem ser mais severas do que os estudantes suspeitam. Todos os sites comerciais com trabalhos advertem que os trabalhos vendidos devem ser usados com propósito de pesquisa somente. Submetê-los para serem avaliados num curso é uma violação de direitos autorais e pode tornar o estudante sujeito a ser legalmente processado. Tais advertências podem não ter significado mais sério do que aquelas de que você deve ter mais 18 anos para entrar num site pornô. No entanto, algumas universidades estão discutindo meios de pressionar essas empresas a processar os estudantes que são surpreendidos apresentado esses trabalhos. Tais penalidades legais encontram-se acima e além das penalidades acadêmicas para plágio, as quais podem também ser severas.

Finalmente, há o problema da integridade pessoal. Os meios eletrônicos tornam fácil para qualquer um, não apenas para estudantes de faculdade, trapacear. Fotografias armazenadas digitalmente podem facilmente ser alteradas e distribuídas. Dinheiro pode ser desviado de uma conta para outra, freqüentemente sem deixar pistas. Notas podem ser falsificadas. Registros alterados. E, informação de todo tipo copiada e reorganizada. Em meio a tantas oportunidades, a integridade pessoal começa a contar para algo; ela começa a ser notada. E ela começa a ser correlacionada com criatividade. Uma cultura eletrônica onde todos “tomam emprestado” de todos logo começa a andar em círculos a procura de pessoas que possam fazer seu próprio trabalho. Se ao invés de aprender a pensar por conta própria e a expressar suas próprias idéias claramente por escrito você meramente aprender a achar coisas na Internet e modificá-las para seu próprio uso, isso provavelmente será tudo o que você aprenderá. E será preocupante a perspectiva de que a qualidade do seu trabalho possa se limitar à qualidade do que está na Internet.


Conclusão Aprender a usar fontes bibliográficas é uma das coisas mais importantes que você tem para aprender na faculdade. Usando fontes bem e claramente indicando seus débitos para com essas fontes, seus escritos ganham autoridade, clareza e precisão. Uma discussão com uma pessoa bem informada e atenta nos ajuda a pensar mais claramente. Usar fontes bibliográficas num escrito é um meio de desenvolver tais discussões.

Você não deve, porém, tornar-se muito inquieto acerca de plágio. Os escritores não podem ter a esperança de indicar ou mesmo de estar conscientes de todos os seus empréstimos, e há um ponto onde uma idéia tomada emprestado de alguém se torna, após longa reflexão, sua própria. Uma vez que você seja escrupuloso na indicação do material citado e dos empréstimos imediatos que feitos em paráfrases, você não será suspeito ou acusado de plágio.

Escritores que plagiam perdem as vantagens de pertencer a uma comunidade intelectual. Se eles são profissionais, provavelmente terão a prática da sua profissão barrada ou seu trabalho pode não ser levado a sério. Se eles são estudantes, carregarão o estigma de ter plagiado. Professores suspeitarão de seus trabalhos e não se disporão a apoiá-los em seus esforços futuros, escrever cartas de recomendação para eles, ou simplesmente trabalhar com eles. Plagiar é um dos maiores erros que alguém pode fazer.

Título do texto em Inglês: Avoiding plagiarism.Endereço do original (em 29 de set. de 2001):http://www.depauw.edu/admin/arc/plag.htmlTradução: Jakson Aquino.

Redes de Apendizagem

As possibilidades das redes de aprendizagem

José Manuel Moran
Especialista em projetos inovadores na educação presencial e a distância
jmmoran@usp.br

Hoje temos um número significativo de professores desenvolvendo projetos e atividades mediados por tecnologias. Mas a grande maioria das escolas e professores ainda está tateando sobre como utilizá-las adequadamente. A apropriação das tecnologias pelas escolas passa por três etapas, até o momento. Na primeira, as tecnologias são utilizadas para melhorar o que já se vinha fazendo, como o desempenho, a gestão, para automatizar processos e diminuir custos. Na segunda etapa, a escola insere parcialmente as tecnologias no projeto educacional. Cria uma página na Internet com algumas ferramentas de pesquisa e comunicação, divulga textos e endereços interessantes, desenvolve alguns projetos, há atividades no laboratório de informática, mas mantém intocados estrutura de aulas, disciplinas e horários. Na terceira, que começa atualmente, com o amadurecimento da sua implantação e o avanço da integração das tecnologias, as universidades e escolas repensam o seu projeto pedagógico, o seu plano estratégico e introduzem mudanças significativas como a flexibilização parcial do currículo, com atividades a distância combinadas as presenciais.
Os professores, em geral, ainda estão utilizando as tecnologias para ilustrar aquilo que já vinham fazendo, para tornar as aulas mais interessantes. Mas ainda falta o domínio técnico-pedagógico que lhes permitirá, nos próximos anos, modificar e inovar os processos de ensino e aprendizagem.
As redes, principalmente a Internet, estão começando a provocar mudanças profundas na educação presencial e a distância. Na presencial, desenraizam o conceito de ensino-aprendizagem localizado e temporalizado. Podemos aprender desde vários lugares, ao mesmo tempo, on e off-line, juntos e separados. Como nos bancos, temos nossa agência (escola), que é nosso ponto de referência; só que agora não precisamos ir até lá o tempo todo para poder aprender.
As redes também estão provocando mudanças profundas na educação a distância (EAD). Antes a EAD era uma atividade muito solitária e exigia muita auto-disciplina. Agora, com as redes, a EAD continua como uma atividade individual, combinada com a possibilidade de comunicação instantânea, de criar grupos de aprendizagem, integrando a aprendizagem pessoal com a grupal.
A educação presencial está incorporando tecnologias, funções, atividades que eram típicas da educação a distância, e a EAD está descobrindo que pode ensinar de forma menos individualista, mantendo um equilíbrio entre a flexibilidade e a interação.
Blogs e Flogs
Quando focamos mais a aprendizagem dos alunos do que o ensino, a publicação da produção deles se torna fundamental. Recursos como o portfólio, onde os alunos organizam o que produzem e o disponibilizam para consultas, são cada vez mais utilizados. Os blogs, fotologs e videologs são recursos muito interativos de publicação com possibilidade de fácil atualização e participação de terceiros.
Os blogs, flogs (fotologs ou videologs) são utilizados mais pelos alunos que pelos professores, principalmente como espaço de divulgação pessoal, de mostrar a identidade, onde se misturam narcisismo e exibicionismo (em diversos graus). Atualmente há um uso crescente dos blogs por professores dos vários níveis de ensino, incluindo o universitário. Os blogs permitem a atualização constante da informação pelo professor e pelos alunos, favorecem a construção de projetos e pesquisas individuais e em grupo, a divulgação de trabalhos. Com a crescente utilização de imagens, sons e vídeos, os flogs têm tudo para explodir na educação e integrarem-se com outras ferramentas tecnológicas de gestão pedagógica. As grandes plataformas de educação a distância ainda não descobriram e incorporaram o potencial dos blogs e flogs.
A possibilidade dos alunos se expressarem, tornarem suas idéias e pesquisas visíveis, confere uma dimensão mais significativa aos trabalhos e pesquisas acadêmicos. A Internet possui hoje inúmeros recursos que combinam publicação e interação, através de listas, fóruns, chats, blogs. Existem portais de publicação mediados, onde há algum tipo de controle e existem outros abertos, baseados na colaboração de voluntários. O site www.wikipedia.org/ traz um dos esforços mais notáveis no mundo inteiro de divulgação do conhecimento. Milhares de pessoas contribuem para a elaboração de enciclopédias sobre todos os temas, em várias línguas. Qualquer pessoa pode publicar e editar o que outras pessoas colocaram. Só em português foram divulgados mais de 30 mil artigos na wikipedia. Com todos os problemas envolvidos, a idéia de que o conhecimento pode ser co-produzido e divulgado é revolucionária e nunca antes tinha sido tentada da mesma forma e em grande escala.
A escola em conexão com o mundo
A escola com as redes eletrônicas se abre para o mundo, o aluno e o professor se expõem, divulgam seus projetos e pesquisas, são avaliados por terceiros, positiva e negativamente. A escola contribui para divulgar as melhores práticas, ajudando outras escolas a encontrar seus caminhos. A divulgação hoje faz com que o conhecimento compartilhado acelere as mudanças necessárias, agilize as trocas entre alunos, professores, instituições. A escola sai do seu casulo, do seu mundinho e se torna uma instituição onde a comunidade pode aprender contínua e flexivelmente. Destaco, por exemplo, a importância do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) de Chicago, que disponibiliza todo o conteúdo dos seus cursos em várias línguas, facilitando o acesso de centenas de milhares de alunos e professores a materiais avançados e sistematizados, disponíveis on-line http://www.universiabrasil.net/mit/. Alunos, professores, a escola e a comunidade se beneficiam. Atualmente, a maior parte das teses e dos artigos apresentados em congressos estão publicados na Internet. O estar no virtual não é garantia de qualidade (esse é um problema que dificulta a escolha), mas amplia imensamente as condições de aprender, de acesso, de intercâmbio, de atualização. Tanta informação dá trabalho e nos deixa ansiosos e confusos. Mas é muito melhor do que acontecia antes da Internet, quando só uns poucos privilegiados podiam viajar para o exterior e pesquisar nas grandes bibliotecas especializadas das melhores universidades. Hoje podemos fazer praticamente o mesmo sem sair de casa.
Os professores podem ajudar o aluno incentivando-o a saber perguntar, a enfocar questões importantes, a ter critérios na escolha de sites, de avaliação de páginas, a comparar textos com visões diferentes. Os professores podem focar mais a pesquisa do que dar respostas prontas, ou aulas todas acabadas. Podem propor temas interessantes e caminhar dos níveis mais simples de investigação para os mais complexos; das páginas mais coloridas e estimulantes para as mais abstratas; dos vídeos e narrativas concretas para os contextos mais abrangentes e assim ajudar a desenvolver um pensamento arborescente, com rupturas sucessivas e uma reorganização semântica contínua.
Uma das formas mais interessantes de desenvolver pesquisa em grupo na Internet é o webquest. Trata-se de uma atividade de aprendizagem que aproveita a imensa riqueza de informações que, dia a dia, cresce na Internet. Resolver uma webquest é um processo de aprendizagem atraente, porque envolve pesquisa, leitura, interação, colaboração e criação de um novo produto a partir do material e idéias obtidas. A webquest propicia a socialização da informação: por estar disponível na Internet, pode ser utilizada, compartilhada e até reelaborada por alunos e professores de diferentes partes do mundo. O problema da pesquisa não está na Internet, mas na maior importância que a escola dá ao conteúdo programático do que à pesquisa como eixo fundamental da aprendizagem.
O processo de mudança será mais lento do que muitos imaginam. Iremos mudando aos poucos, tanto no presencial como na educação a distância. Há uma grande desigualdade econômica, de acesso, de maturidade, de motivação das pessoas. Alguns estão prontos para a mudança, outros muitos não. É difícil mudar padrões adquiridos (gerenciais, atitudinais) das organizações, governos, dos profissionais e da sociedade.
Ensinar com as novas mídias será uma revolução, se mudarmos simultaneamente os paradigmas convencionais do ensino, que mantêm distantes professores e alunos. Caso contrário conseguiremos dar um verniz de modernidade, sem mexer no essencial. A Internet é um novo meio de comunicação, ainda incipiente, mas que pode ajudar-nos a rever, a ampliar e a modificar muitas das formas atuais de ensinar e de aprender.

Qual a idade para se casar?

A equação da idade ideal para se casar

Recentemente, um jornal brasileiro de grande circulação publicou reportagem sobre uma curiosa fórmula, descoberta por um estatístico britânico, para calcular a idade ideal para um casamento.

De acordo com a notícia, a fórmula envolveria as variáveis X, Y e M, sendo X a idade em que uma pessoa deseja parar de namorar para se casar, Y a idade em que ela começa a busca pelo par ideal, ou seja, a idade em que inicia a fase do namoro, e M a idade em que efetivamente a pessoa deve abandonar a procura para assumir um casamento.

Afirmava-se ainda que cada pessoa poderia escolher valores diferentes para X e Y, dependendo de quando ela começa e de quando espera terminar a busca pelo par ideal, deixando por conta da fórmula o cálculo de M.

Em linguagem matemática, isso quer dizer que X e Y são as variáveis independentes e M, a dependente.A fórmula impressa no jornal era: M=[(Y+1)/2,718].X-Y.

Não contive minha curiosidade e decidi fazer algumas simulações com ela. Imaginei o caso de um jovem que inicia a fase do namoro aos 18 anos (Y) e que só espera se casar aos 25 (X).

Surpreendentemente, a idade ideal sugerida pela fórmula para abandonar o namoro e assumir o compromisso do matrimônio foi, aproximadamente, 156 anos de idade.Como outras simulações também resultaram em números estranhos, busquei na internet "Dennis Lindley", o nome do autor da pesquisa, e descobri que o equívoco do jornal brasileiro foi transcrever erroneamente a linguagem matemática das operações entre as variáveis independentes descritas pelo estatístico.

Quando Dennis Lindley afirma, no artigo original, que devemos "tomar Y, somar o resultado com 1 dividido por 2,718, divisão que será multiplicada por X menos Y", a correta interpretação matemática da expressão seria M=Y+[(1/2,718).(X-Y)].O leitor poderá verificar, com o uso da fórmula correta, que a simulação para Y=18 e X=25 apresenta um resultado perfeitamente aceitável, M20, o que quer dizer que a idade ideal para o casamento da pessoa analisada no exemplo seria aos 20 anos.

Mais uma curiosidade: o número 2,718 que aparece na fórmula é uma aproximação do número irracional utilizado como base dos logaritmos naturais, cuja notação é a letra e.

O que fica como dica de estudo? Praticar a simulação de cálculos buscando verificar a plausibilidade dos resultados sempre é um bom caminho para a identificação de erros em matemática.

Curiosidade Matemática

Multiplicações Incrivéis

A matemática foi uma das matérias pela qual sempre tive interesse. Não só a matemática, mas as ciências exatas no geral - vai ver isso deve-se ao fato de eu só crer no que, de forma ou outra, possui uma explicação lógica.

Passando pelo MDig, me deparei com 4 interessantes resoluções matemáticas.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 =987
1234 x 8 + 4 =9876
12345 x 8 +5 = 98765
123456 x 8 +6 =987654
1234567 x 8 +7 =9876543
12345678 x 8 +8= 98765432
123456789 x 8 +9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3= 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 +5 = 11111
12345 x 9 +6 = 111111
123456 x 9 +7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9= 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 +5 = 8888
9876 x 9 +4 = 88888
98765 x 9 +3 = 888888
987654 x 9 +2 = 8888888
9876543 x 9 +1 = 88888888
98765432 x 9 +0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
1111111111 x 1111111111 = 12345678987654321

Os números naturais

O número natural

Os egípcios criam os símbolos Contando com os egípcios O papiro da Matemática egípcia A técnica de calcular dos egípcios Descobrindo a fração As complicadas frações egípcias Contando com os romanos O sistema de numeração romano Os milhares Afinal os nossos números Os árabes divulgam ao mundo os números hindus Os números racionais

Os egípcios criam os símbolos


Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
3 + 5 = 8
Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?


Contando com os egípcios


Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000
100.000 1.000.000
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo:
256
e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:
265 526 562 625 652

Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:
45


Os papiros da Matemática egípcia


Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.


A técnica de calcular dos egípcios


Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:

Número de parcelas
Resultado
1
9
2
18
4
36
8
72

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13
O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117
Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.


Descobrindo a fração


Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
“... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes.
Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó
mandava funcionários examinarem e determinarem por medida
a extensão exata da perda.”
Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Para representar os números fracionários, usavam frações.


As complicadas frações egípcias


Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade. Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.


Contando com os romanos


De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?


O sistema de numeração romano


Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L
C D M
Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60
Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405


Os milhares


Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.



Afinal os nossos números


No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
“Existem outros povos que também sabem alguma coisa!
Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos.
São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos
são feitos por apenas nove sinais!”.
A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
são chamados de algarismos?



Os árabes divulgam ao mundo
os números hindus

Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
“Não há ninguém mais culto em
todos os ramos do saber do que eu”.
Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.
Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.



Os números racionais


Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98
1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

Surgimento dos Números

1 O número concreto

Como surgiu o número? Contando objetos com outros objetos Construindo o conceito de número
Como surgiu o número?


Alguma vez você parou para pensar nisso? Certamente você já imaginou que um dia alguém teve uma idéia genial e de repente inventou o número. Mas não foi bem assim.
A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisa. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso... Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número. Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números:



Até o final da história você saberá em que época e por que o homem inventou um desses números.



Contando objetos com outros objetos

Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Veja estes caçadores.

Para registrar os animais mortos numa caçada, eles se limitavam a fazer marcas numa vara. Nessa época o homem se alimentava daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais. Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.

Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor. E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia.
Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas etc.. Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa. O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado.
Mas como controlar o rebanho? Como Ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem? O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra! Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras.



Construindo o conceito de número


Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante. A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.

Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som. É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.

História da Matemática

Páginas de História da Matemática


A História da Ciência e, em particular, a História da Matemática, constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram.
Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. Permite também estabelecer conexões com a história, a filosofia, a geografia e várias outras manifestações da cultura.
Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas após todo o processo de descoberta.
Nestas páginas queremos oferecer textos cuidadosamente embasados numa bibliografia cientificamente séria, tão atualizados quanto possível, e redigidos de uma forma simples e direta, facilmente acessível ao leitor.
Para isso, escolhemos três formas de exposição. Os textos estão ordendos segundo sua cronologia numa linha do tempo. A partir da mesma base de dados oferecemos uma seção de biografias dos grandes matemáticos e, a partir de uma reclassificação, disponibilizamos também uma apresentação de história da matemática organizada por tópicos
Os textos para esta seção, que está em construção permanente, são produzidos em sua maioria por alunos da licenciatura em matemática do IME-USP, orientados pelo Prof. Dr. Francisco César Polcino Milies.

O que é Modelagem Matemática?

O que é Modelagem Matemática?


Modelagem Matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável.
A Modelagem Matemática é livre e espontânea, ela surge da necessidade do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo de construção.
Ao trabalharmos Modelagem Matemática dois pontos são fundamentais: aliar o tema à ser escolhido com a realidade de nossos alunos e aproveitar as experiências extra-classe dos alunos aliadas à experiência do professor em sala de aula.Porque fazer Modelagem Matemática?
Podemos enumerar os diversos benefícios de trabalharmos com Modelagem Matemática:1) Motivação dos alunos e do próprio professor2) Facilitação da aprendizagem. O conteúdo matemático passa a ter significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto.3) Preparação para futuras profissões nas mais diversas áreas do conhecimento, devido a interatividade do conteúdo matemático com outras disciplinas.4) Desenvolvimento do raciocínio, lógico e dedutivo em geral.5) Desenvolvimento do aluno como cidadão crítico e transformador de sua realidade.6) Compreensão do papel sócio-cultural da matemática, tornando-a assim, mais importante.Como surgiram as grandes descobertas da humanidade?
Surgiram da necessidade do homem em resolver determinadas situações-problema do seu dia-a-dia.Etnomatemática e Modelagem Matemática
Se a Modelagem Matemática procura modelar um determinado fenômeno da realidade com o objetivo de compreender este fenômeno a Etnomatemática se faz presente, pois ela trata de um conjunto de saberes que um determinado grupo cultural possui com um objetivo em comum.Qual o perfil de um professor que queira trabalhar com Modelagem Matemática?
Deve ser criativo, motivador e acima de tudo deve assumir a postura de um mediador entre o saber comum e o saber matemático, fazendo com que o aluno passe a ser um agente ativo no processo de construção do saber.A Modelagem Matemática é eficaz no Ensino Médio e Fundamental?
A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino de Matemática que pode ser utilizada tanto no ensino fundamental como no ensino médio. A partir de conceitos gerais, procura –se mostrar a importância da Matemática para o conhecimento e compreensão da realidade onde se vive. Uma forma de avaliar se a Modelagem Matemática é eficiente no processo de ensino-aprendizagem é estabelecer um paralelo entre o ensino tradicional e o ensino através da Modelagem Matemática, abordando aspectos como a pedagogia adotada, a criatividade, o interesse pelo estudo de Matemática, a motivação e entusiasmo por parte dos alunos,e a avaliação do que eles realmente aprenderam com a Modelagem Matemática, levando o professor a refletir sobre a sua metodologia de ensino da matemática.
É evidente que a Modelagem Matemática não deve ser usada como uma única metodologia de ensino, o professor no exercício das suas atividades, deve sempre procurar a melhor metodologia de ensino da matemática, como por exemplo: jogos, brincadeiras, a história da matemática, metodologia dos três momentos, resolução de problemas, enfim usar todos os seus recursos para obter o melhor resultado possível no ensino da matemática.

Modelagem Matemática no Ensino

DISCUSSÕES SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO-APRENDIZAGEM
Jean Carlos Silveira e João Luiz Domingues Ribas


RESUMO

Este trabalho visa fazer uma análise crítica das discussões sobre a Modelagem Matemática no processo de ensino, relata os principais temas abordados durante o I EPMEM (Encontro Paranaense de Modelagem no Ensino da Matemática) realizado na cidade de Londrina-PR. durante os dias 14, 15 e 16 de outubro de 2004, pela Universidade Estadual de Londrina (UEL).
A busca de novas metodologias de ensino da matemática devem ser constantes, no momento fala-se muito sobre Modelagem Matemática, mas mesmo após quase vinte e cinco anos de discussões e estudos ainda existem muitas dúvidas sobre a Modelagem Matemática, na ocasião tivemos a oportunidade de debater juntamente com professores mestres e doutores na área em questão sobre as dificuldades e os benefícios de trabalharmos com a modelagem no ensino de nossos alunos.
Palavras-Chave: Metodologia de Ensino da Matemática, Modelagem Matemática, Aplicações, cotidiano.
Segundo o prof. Dr. Dionísio Burak UEPG – Ponta Grossa – PR, a Modelagem Matemática no Brasil começou a ser trabalhada, na década de 80 na Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP – com um grupo de professores, em Biomatemática, coordenados pelo Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi- IMECC.
Em princípio, os estudos envolviam modelos de crescimento cancerígenos. Também foi realizada uma experiência com a Modelagem, pelo professor Rodney, com turma regular de Engenharia de Alimentos, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, que possuía programa definido. A experiência foi muito satisfatória.
Na educação brasileira a Modelagem Matemática teve início com os cursos de especialização para professores, em 1983, na Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Guarapuava - FAFIG, hoje Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO.
Com o início do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática pela UNESP – Campus de Rio Claro, a Modelagem angariou adeptos, pois a grande preocupação sentida consistia em encontrar formas alternativas para o ensino de Matemática que trabalhassem ou que tivessem a preocupação de partir de situações vivenciadas pelo aluno do ensino de 1º e 2º graus, atualmente ensino Fundamental e Médio.
Os primeiros trabalhos enfocando a Modelagem como uma alternativa para o Ensino de Matemática, começaram a ser elaborados sob forma de dissertações e artigos, a partir de 1987. Em 1999 foi realizada a 1º Conferência Nacional.

DISCUSSÕES SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO-APRENDIZAGEM
Devido ao grande avanço das tecnologias informáticas muitas das atividades do nosso cotidiano passaram a ser feitas por máquinas, com os computadores surgiu, por exemplo, a “Era da Informática” onde as informações se difundiram em grande escala revolucionando o modo de vida da humanidade.
Com toda esta revolução ocasionada pela informática, os conceitos matemáticos tornaram-se implícitos, pois os programas de computação são capazes de realizar cálculos em uma fração de segundo, o que manualmente levariam horas para o ser humano resolver.
Com essa “facilidade” que a informática proporciona, houve uma desmatematização natural das pessoas em geral, ocasionando deste modo, uma desvalorização dos conhecimentos matemáticos, ou seja, para que decorar fórmulas ou teoremas, se no computador elas já estão todas armazenadas?
Segundo o Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa da Universidade Jorge Amado-Salvador, a matemática pode servir como “poder para alguém” agindo como um instrumento de controle social, pois afinal, os números governam o mundo, decisões são tomadas a partir de fórmulas, de cálculos, de estatísticas, planejamentos de governo são decididos através da matemática, decisões estas que afetam as vidas de todos aqueles que a elas se submetem.
Neste sentido muitas pessoas questionam sobre o papel da matemática na formação de nossos alunos, qual o professor que nunca ouviu aquela velha pergunta que os alunos sempre fazem: “pra que serve esta matéria que eu estou aprendendo?”
Talvez uma resposta para esta questão possa ser a Modelagem Matemática, pois ela tem como objetivo interpretar e compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano, devido ao “poder” que a Modelagem proporciona pelas aplicações dos conceitos matemáticos. Podemos descrever estes fenômenos, analisá-los e interpretá-los com o propósito de gerar discussões reflexivas sobre tais fenômenos que cercam nosso cotidiano.

Aulas com Tangram

AULAS COM TANGRAM

1 Podemos aproveitar a diversão para trabalhar conteúdos do currículo:
· Figuras geométricas planas
· Ângulos e sua classificação
· Congruência de figuras
· Áreas e perímetros de figuras

2.Podemos esperar que os alunos aprendam:
· Utilizar as peças do tangram como modelo geométrico.
· Combinar as peças do tangram para formar outras figuras
· Medir e classificar os ângulos.
· Reconhecer figuras congruentes e definir o conceito de congruência.
· Medir áreas e perímetros de figuras geométricas.

Colaboração
Trabalho em equipe
Participação
Predisposição
Comunicação3. Podem ser desenvolvidos valores e atitudes como:
· Responsabilidade
· Atenção
· Sentido de ordem
· Realizar bem as tarefas

4. Começaria a aula falando um pouco sobre o tangram.
O tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Ao contrário de outros quebra-cabeças ele é formado por apenas sete peças com as quais é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras geométricas e outros.
5. Contaria um pouco da origem e história.
Há uma lenda sobre esse material de que um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois iniciaria uma grande viagem pelo mundo.Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse:- Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem, para mostrar-me na volta.O discípulo surpreso, indagou:- Mas mestre, como, com um simples espelho, poderei eu lhe mostrar tudo o que encontrar durante a viagem?No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos, quebrando-se em sete peças.Então o mestre disse:- Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que viu durante a viagem.Lendas e histórias como essas sempre cercam objetos ou fatos de cuja origem temos pouco ou nenhum conhecimento, como é o caso do tangram. Se é ou não verdade, pouco importa: o que vale é a magia, própria dos mitos e lendas.

6. Regras para jogar.
As regras desse jogo consistem em usar as sete peças em qualquer montagem colocando-as lado a lado sem sobreposição.
7. Convite para cada um fazer seu próprio tangram.
1. Se tiver o recurso, a folha pode ser impressa, senão, traçar com régua ou usar o recurso da dobradura.
· Dobrar o quadrado ao meio no sentido da diagonal.
· Levar uma ponta do papel que não foi marcada a diagonal até o meio do papel, podendo ser feita uma dobra paralela a diagonal.....
2. Recorta o quadrado pelo picotado, ficando com 7 peças.
3. Podes agora usar as peças para fazer as figuras que quiseres.
· É claro que um tangram colorido seria o ideal!
· Pode ser usado em qualquer nível escolar (idade ideal: de 5 a 95anos)
Instruções


8. Conteúdos, objetivos e habilidades:
Com o uso do tangram você pode trabalhar a identificação, comparação, descrição, classificação e desenho de formas geométricas planas., visualização e representação de figuras planas, exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras, compreensão das propriedades das figuras geométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos. Esse trabalho permite o desenvolvimento de algumas habilidades tais como a visualização, percepção espacial, análise, desenho, escrita e construção. Se utilizado em terceiras e quartas séries pode envolver ainda noções de área e frações.

9. O tangram em sala de aula.
O trabalho com o tangram deve em suas atividades iniciais visar à exploração das peças e a identificação das suas formas. As peças do tangram devem ser apresentadas.


O tangram é formado por sete peças, são elas:


5 triângulos:

2 grandes




1 médio


2 pequenos
1 quadrado
1 paralelogramo

Estatística Básica

INTRODUÇÃO

ESTATÍSTICA: ramo da matemática aplicada.

ANTIGUIDADE: os povos já registravam o número de habitantes, nascimentos, óbitos. Faziam "estatísticas".

IDADE MÉDIA: as informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas.

SEC. XVI: surgem as primeiras análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos.

SEC. XVIII: a estatística com feição científica é batizada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos de probabilidades. A estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar a conclusão sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)".


MÉTODO ESTATÍSTICO

MÉTODO: é um meio mais eficaz para atingir determinada meta.

MÉTODOS CIENTÍFICOS: destacamos o método experimental e o método estatístico.

MÉTODO EXPERIMENTAL: consiste em manter constante todas as causas, menos uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc.

MÉTODO ESTATÍSTICO: diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Ex: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui?

· Seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc.

A ESTATÍSTICA

è É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

è A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade.
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Apresentação

Olá Companheiros,

Este blog tem por objetivo discutir o ensino da Matemática e trocar experiências com toda a comunidade.

Bons Estudos.

Joel Barros