quinta-feira, 29 de abril de 2010

Gabarito da Revisão 1 ano CENTRAL

Gabarito dos Exercícios de Revisão

1) a) S = { 22 } 2) S1 = { 0,2 } e S2 = { -2,2 }

b) S = { -3/11 } Resp. 2

c) S = { -2,2 } 3) 15cm

d) S = { -6,0 } 4) 8cm

e) S = { -1,4 } 5) 1cm

f) S = { 1 }

g) S = { }


6) a) Quanto aos lados : Equilátero - 3 lados iguais
Isósceles - 2 lados iguais
Escaleno - 3 lados diferentes

Quanto aos ângulos : Retângulo - 1 ângulo reto ( = 90 graus )
Acutângulo - 3 ângulos agudos ( menores que 90 graus )
Obtusângulo - 1 ângulo obtuso ( maior que 90 graus )

b) Atura é o segmento de reta que parte de um vértice e forma 90 graus com o lado oposto.
Mediana é o segmento de reta que parte de um vértice e encontra o ponto médio do lado oposto.
Bissetriz é o segmento de reta que parte de um vértice dividindo este ângulo ao meio e encontra o lado oposto.

c) Ponto de encontro : Alturas - Ortocentro
Medianas - Baricentro
Bissetrizes - Incentro

d) Uma equação do segundo grau possui sempre 2 raízes.

segunda-feira, 19 de abril de 2010



Triângulo


No plano, triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).

Tipos de triângulos

Sem falar dos triângulos esféricos, os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados:

• Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
• Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, conseqüentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
• Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.


Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

• Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos(formando 180°).


Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.
O Teorema de Tales (ou Lei angular de Tales) determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura é um segmento de recta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.
O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo rectângulo, é o vértice do ângulo recto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema ortocêntrico.

Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo equilátero, as medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas são coincidentes.

quinta-feira, 15 de abril de 2010

Revisão 1 ano - CENTRAL

Lista de Exercícios de Revisão


1)Resolva as equações:

a) 5(x+3) – 6(x-1) = 4(x-3)

b) ( x + 2 ) / 4 + ( 2x + 3 ) / 5 = ( 3x – 1 ) / 3

c) 2x ( x + 3 ) + 3x ( x – 1 ) = 2x ( x - 4 )

d) 3x ( x + 2 ) - 2x ( x - 1 ) = - 12

e) 5x ( x + 2 ) + 4x ( x - 3 ) = 16 - 2x


2) Em um triângulo retângulo de catetos 12cm e 16cm, calcule a sua hipotenusa.

3) Os catetos de um triângulo retângulo medem ( x - 2 ) cm e 3cm, sendo sua hipotenusa igual a 5cm.Calcule o valor de x.

quarta-feira, 14 de abril de 2010

Olímpiadas de Matemática das Escolas Públicas

Calendário OBMEP - 2010


09 de Fevereiro Abertura das inscrições (exclusivamente neste site)

26 de Março Encerramento das inscrições

08 de Junho (terça-feira) Provas da 1ª Fase

22 de Junho Data-limite para envio, pelas escolas, da lista e dos cartões-resposta dos alunos classificados para a 2ª Fase

10 de Agosto Divulgação dos Classificados com informação das provas da 2ª Fase

11 de Setembro (sábado)
14:30 h (horário de Brasília) Provas da 2ª Fase

26 de Novembro Divulgação dos premiados

segunda-feira, 12 de abril de 2010

Equação do Primeiro Grau

Equação do Primeiro Grau


Denomina-se equação do 1º grau com uma incógnita, qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, com a ≠ 0. a e b são coeficientes da equação.
Equações do 1º grau podem possuir mais de uma incógnita. Como exemplo, temos as equações do 1º grau com duas incógnitas, que são quaisquer equações que podem ser reduzidas a uma equação equivalente da forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Neste caso, além de a e b, temos também c como coeficientes da equação.
Utilizamos equações do 1º grau com uma incógnita na resolução de problemas tal qual o seguinte:
"Se eu tivesse o dobro da quantia que eu possuo, com mais dez reais eu poderia comprar um certo livro que custa cem reais. Quantos reais eu possuo?"
Inicialmente iremos expressar este mesmo problema em linguagem matemática. Para isto vamos chamar a quantia que eu possuo atualmente de x. Este é valor procurado.
Ao referir-me ao dobro da quantia, matematicamente estou me referindo a 2x, ou seja, ao dobro de x.
O dobro da quantia mais dez reais será expresso matematicamente como 2x + 10.
Finalmente devemos expressar que o dobro da quantia mais dez é igual a cem, logo a expressão inteira será: 2x + 10 = 100.
Basicamente substituímos o texto em português pelos seus respectivos operadores matemáticos.

Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita
Para solucionarmos a equação 2x + 10 = 100 iremos recorrer aos conceitos de equações equivalentes, princípio aditivo da igualdade e princípio multiplicativo da igualdade, vistos no tópico Equação. Resumindo, iremos obter equações equivalentes sucessivamente através da aplicação destes princípios, até que a raiz da equação seja encontrada.
Primeiramente vamos lembrar que o oposto de um número real é igual a este mesmo número com o sinal trocado. O oposto de 2 é igual a -2. Obviamente o oposto de -2 voltará ao número 2 inicial. Note ainda que a soma de um número pelo seu oposto sempre resultará em 0.
Precisamos também lembrar o que vem a ser o inverso de um número real diferente de zero. De antemão sabemos que um número real diferente de zero multiplicado pelo seu inverso resultará sempre em 1.
Segundo este conceito, o inverso de 2 é 1/2, já que 2 . 1/2 = 1. Obviamente o inverso de 1/2 é 2 pelo mesmo motivo.
O inverso de 3/5 é 5/3, pois 3/5 . 5/3 = 1.
Simplificando, se a for um número real inteiro e diferente zero, o seu inverso será 1/a. No caso de frações, o inverso multiplicativo da fração a/b será b/a, com a e b diferentes de zero.
A partir deste conceito podemos começar a solucionar a equação.
Vejamos: 2x + 10 = 100

A ideia é deixarmos a incógnita x isolada no primeiro membro à direita do sinal de igualdade e a raiz no segundo membro, à esquerda. Gradualmente iremos passando os números do primeiro membro para o segundo membro.
Para passarmos o número 10 no primeiro membro, para o segundo membro, iremos recorrer ao princípio aditivo da igualdade. Vamos subtrair 10 dos dois membros da equação:
2x + 10 - 10 = 100 - 10
Ao subtrairmos 10 nos dois membros da equação, na verdade estamos somando o oposto de 10, que é -10 em ambos os membros como vemos abaixo, de sorte que o 10 saia do primeiro membro, pois como já vimos, ao somarmos um número real ao seu oposto o resultado sempre será igual a zero:
2x + 10 + ( - 10 ) = 100 + ( - 10 )
Ao realizarmos as operações chegaremos à equação:
2x + 0 = 90
Que é equivalente a: 2x = 90

Para tirarmos o coeficiente 2 do primeiro membro, iremos recorrer ao princípio multiplicativo da igualdade, dividindo ambos os membros por 2:
( 2x ) : 2 = 90 : 2
Na verdade o que estamos fazendo é multiplicando ambos os membros pelo inverso multiplicativo do coeficiente 2 que é 1/2, para que ele saia do primeiro membro, já que será reduzido ao número 1. Na realidade o cálculo seria este:
2x . 1/2 = 90 . 1/2
Realizando os cálculos em qualquer um dos dois casos encontramos a raiz procurada:
x = 45

Passando para o outro lado

Depois de adquirido tais conhecimentos, podemos ver uma forma mais simples de solucionarmos este tipo de equação. Vejamos:
2x + 10 = 100
A ideia agora é passar o termo 10 do primeiro para o segundo membro. Como ele está sendo somado, passará para o outro lado sendo subtraído, já que a subtração é a operação inversa da adição:
2x = 100 - 10
Que se resume a:
2x = 90
Passamos agora o coeficiente 2 para o segundo membro. Como ele está multiplicando, do outro lado ele estará dividindo. Isto porque a divisão é a operação inversa da multiplicação:
x = 90/2
Realizando a divisão encontramos a raiz 45 encontrada anteriormente:
x = 45
Apenas a título de verificação, vamos substituir a incógnita x por 45 para confirmarmos que este valor torna a equação verdadeira:
2 . 45 + 10 = 100
90 + 10 = 100


Resumo

Este método que acabamos de estudar resume-se em isolar a incógnita no primeiro membro, passando progressivamente cada um dos coeficientes para o segundo membro. A passagem é feita passando o termo para o outro lado, invertendo-se a operação que é realizada sobre o mesmo:
• Se for adição, passa a subtração;
• Se for subtração, passa a adição;
• Se for multiplicação, passa a divisão;
• Se for divisão, passa a multiplicação.
Na verdade tais inversões nada mais são que uma forma simplificada de utilização dos princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, como visto inicialmente.

sábado, 10 de abril de 2010

Chuva em Salvador

Olá queridos alunos do CENTRAL,

Gostaria de informar que houve avaliação na sexta-feira dia 9/4/2010,porém por motivo das fortes chuvas que cairam na cidade na terça-feira dia 13/04/2010,estarei fazendo outra avaliação com todos alunos que não fizeram a primeira e da mesma forma.

Bons Estudos!!!!!!!!

Joel Barros